亲品藏

　　观点五：

　　在看数据之前，我先说说自己的想法：

　　1. 把钱看成连续的，分完以后再修正bug：a）为了使最小单位为0.01，最后结果精确到十分位即可，零头全部倒给最后一个人（或者从最后一个人那里出）b）如果有人说万一出现有人为0或者负数怎么办，这好办，一开始先给每人分配0.01作为“底钱”就好了。

　　2. @马景铖的猜想是基于调查数据的，这点我非常赞赏。不过想提出一点意见（不好意思大过年的较真了哈哈）：图2用线性回归做趋势分析是很好的，不过应该给出置信区间或p值等统计显著性指标。图3其实是有些误导的，因为你做的是一个累计平均，误差近似于，所以如果你把Confidence Band画出来也许会发现并没有显著偏离平均值。

　　3. 对于这个问题，大家可能关心两个问题：a）算法怎么实现的？b）先拿好还是后拿好？我认为后一个问题比较好回答，而且顺便想指出的是，即使存在和次序相关的“bug”，也非常容易“修正”：每次生成完分配方案以后把顺序打乱即可。

　　现在说说我是怎么分析这个问题的：

　　1. 首先同样是采样。我从微信群里抓取了37次分红的结果，为了使样本具有可比性，我只筛选了分红人数为5的样本，数据（一共37行）大概长这样：

　　［，1］ ［，2］ ［，3］ ［，4］ ［，5］

　　［1，］ 0.26 1.64 1.50 0.51 1.09

　　［2，］ 0.16 1.20 1.28 2.03 1.21

　　［3，］ 0.03 0.43 0.01 0.51 0.02

　　［4，］ 5.39 2.67 1.74 3.27 1.93

　　［5，］ 0.31 0.07 0.07 0.33 0.22

　　［6，］ 0.44 1.93 1.40 1.72 3.39

　　其中每一行是一次分红。例如：抽样的第三个红包总金额为1元，其中第2个人抽到了0.43元。

　　2. 然后一个我认为合理的假设（其实可能大家都已经默认了）是：我们的分布是齐次的。

　　记每个人分红的联合分布密度函数（joint pdf）为，其中是第个人分到的金额（在我们的数据中），而为总金额。那么齐次指的是：。用通俗的语言说一遍就是：如果你把总金额乘上一个倍数，新的分布和原来的分布是“相似”的。

　　3. 有了齐次的假设，我们就可以把采集到的数据归一化（每一行除以它们的和），得到的每一个结果的意义是：每个人分到的钱占总金额的比例。

　　4. 箱形图　　

数据图

　　上图是37个样本的总结（横轴代表第几个人，纵轴是分到的比例）。从这幅图来看看不出啥，不过别急，这张图并不完全适合描述我们这个问题，因为每一个人的分红是相关的。

　　4. 直方图　　

数据图

　　没有评论。

　　5. 图上面我没看出啥明显的端倪，数字呢？

　　五组的均值：0.1704179 0.1915872 0.1899119 0.2418445 0.2062385

　　另外给出协方差矩阵：

　　V1 V2 V3 V4 V5

　　V1 0.0165548015 -0.005619991 0.0009090151 -0.009668083 -0.002175743

　　V2 -0.0056199905 0.015760475 -0.0017319045 -0.004626603 -0.003781977

　　V3 0.0009090151 -0.001731904 0.0149705394 -0.010626132 -0.003521518

　　V4 -0.0096680832 -0.004626603 -0.0106261322 0.031287609 -0.006366791

　　V5 -0.0021757429 -0.003781977 -0.0035215178 -0.006366791 0.015846028

　　协相关矩阵（以后会用到）：

　　V1 V2 V3 V4 V5

　　V1 1.00000000 -0.3479277 0.05774181 -0.4248075 -0.1343338

　　V2 -0.34792765 1.0000000 -0.11275104 -0.2083490 -0.2393172

　　V3 0.05774181 -0.1127510 1.00000000 -0.4909873 -0.2286393

　　V4 -0.42480752 -0.2083490 -0.49098735 1.0000000 -0.2859395

　　V5 -0.13433382 -0.2393172 -0.22863934 -0.2859395 1.0000000

　　我们做一个Wald test，看看我们的数据是不是满足零假设（五组的期望均为0.2），略去计算过程，Wald test statistic = 0.0878， p值约为1，说明没有显著证据拒绝零假设。因此回答了问题b）先拿好还是后拿好？——都一样（从目前数据看来）。

　　6. 从经验分布反推模型是一个比较玄的事情，我们可以通过一些检验（正态检验、卡方检验）来从统计学上排除某个分布，但没有人能告诉你哪个分布是“对”的（All models are wrong， but some are useful. -- George E. P. Box）。可能和强迫症有关系，这个截断正态分布在我看来并不是一个漂亮的模型。狄利克雷分布（参见Dirichlet distribution）可能是个更好的选择：它要求这K个随机变量分布在0~1之间，且它们的和为1，这正是我们想要的！进一步想，既然目前没有明显证据支持每个人分到的比例不相同，那就从零假设（相同）出发。对于狄利克雷分布而言，就是所有的a（公式编辑器突然坏了，所以不写tex了，想看的去Wiki上找）都相同，代入到Dirichlet distribution页面中关于期望和方差的公式（K=5）得到E［Xi］=0.2，Var［Xi］=4/［25（5a+1）］，Cor［Xi，Xj］=-0.25。和之前我们看到的数字（均值、方差、协相关）比是不是有一点点像？

　　7. 这是拟合的结果，拟合出的系数a（分别）为1.050646 1.237996 1.161214 1.443003 1.352875。　　

数据图

　　我相信，如果有更多的数据，我们可以更有把握（power）地判断a是否有显著区别，或者说，第几个拿最好？